5.6. Parallele und senkrechte Geraden
Wann verlaufen zwei Geraden zueinander parallel?
![](https://www.mathekars.de/wp-content/uploads/2021/01/grafik-5.png)
Die Graphen von g(x), h(x) und p(x) sind alle parallel zum Gaph von f(x).
Man sieht, dass alle vier Funktionen die gleiche Steigung haben. Der y – Achsenabschnitt ist unterschiedlich.
Geraden verlaufen parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich sind.
Wann verlaufen Geraden senkrecht zueinander?
![](https://www.mathekars.de/wp-content/uploads/2021/01/grafik-6.png)
Die grüne Gerade ist der Graph von f(x) = 3x + 1, die schwarze Gerade ist der Graph von
g(x) = -\frac{1}{3}x + 2
Das Produkt der beiden Steigungen ist -1.
3 • ( -\frac{1}{3} ) = – 1.
Geraden sind dann senkrecht zueinander wenn für ihre Steigungen m_{1} und m_{2} gilt: m_{1} • m_{2} = -1
Ist die Steigung einer Funktion gegeben, dann kann man daraus die Steigung der dazu senkrechten Geraden berechnen.
Man formt hierzu m_{1} • m_{2} = -1 nach m_{2} um.
Der y – Achsenabschnitt kann beliebig gewählt werden.
m_{1} • m_{2} = -1 | : m_{1}
m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}
Ist z. B. f(x) = 4x – 5, dann ist m_{1} = 4 und m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{1}{4}
Ist z. B. f(x) = -5x + 7, dann ist m_{1} = -5 und m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{1}{-5} = \frac{1}{5}
Ist z. B. f(x) = \frac{2}{3} x + 3, dann ist m_{1} = \frac{2}{3} und m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -1 : m_{1} = -1 : \frac{2}{3} = -\frac{1}{1} • \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}
Soll z. B. die zu f(x) = 3x + 2 senkrechte Gerade durch den Punkt A(3/5) verlaufen, so bestimmt man zunächst die
Steigung m_{2} .
m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{1}{3}
Aus A(3/5) folgt, dass x = 3 und y = 5 ist. Man setzt beide Werte in y = m•x + b ein und erhält: 5 = -\frac{1}{3} •3 + b. Dies formt man nach b um.
5 = -\frac{1}{3} •3 + b = -\frac{3}{3} + b | + 1
6 = b
Die Probe ergibt: 5 = -\frac{1}{3} •3 + 6 = -1 + 6 Das ist eine wahre Aussage.
Die zu f(x) = 3x + 2 senkrechte Gerade lautet also g(x) = -\frac{1}{3} x + 6
Übungen
Parallele Geraden
Senkrechte Geraden 1
Senkrechte Geraden 2