1.6. Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktion ordnet die Variablem umgekehrt zu. Das heißt, dass der x – Wert und der y – Wert vertauscht werden.
Das ist allerdings nur dann möglich, wenn es für jeden Funktionswert f(x) bzw. y genau einen x – Wert gibt. Man sagt auch, die umkehrbare, der Fachbegriff lautet invertierbare, Funktion muss eineindeutig sein.
Die Umkehrfunktion erkennt man an der Schreibweise f ^{-1} .
Es gilt: f ^{-1}(y) = x
Die Logarihmus- und die natürliche Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen voneinander.
Graphische Bestimmung der Umkehrfunktion
Graphisch bildet man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen einer Funktion an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt.
![](https://www.mathekars.de/wp-content/uploads/2021/04/grafik.png)
Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion
Zur rechnerischen Bestimmung der Umkehrfunktion löst man die Funktion nach x auf und vertauscht dann x und y.
Im obigen Beispiel ist f(x) = y = 3x + 1.
Löse zunächst nach x auf.
y = 3x + 1 | – 1
y – 1 = 3x | : 3
\frac{y - 1}{3} = \frac{y}{3} - \frac{1}{3} = x
Tausche x und y
\frac{x}{3} - \frac{1}{3} = y = f^{-1}
Da f ^{-1}(y) = x , kann man die Probe machen, indem man f in die Umkehrfunktion einsetzt. Hat man die Umkehrfunktion richtig gebildet, sollte x rauskommen.
Schreibe zunächst \frac{x}{3} - \frac{1}{3} = f^{-1} als \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = f^{-1}
Setze hier für x die ursprüngliche Funktion 3x + 1 ein:
\frac{1}{3} \cdot (3x + 1) - \frac{1}{3} = x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = x
Also ist die Umkehrfunktion richtig gebildet.
Schauen wir uns ein etwas schwierigeres Beispiel an: f(x) = 5x² + 7
Löse zunächst nach x auf
y = 5x² + 7 | – 7
y – 7 = 5x² | : 5
\frac{y}{5} - \frac{7}{5} = x² | Wurzelziehen
\sqrt{\frac{y}{5} - \frac{7}{5}} = x
Tausche x und y
\sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}} = y = f^{-1}
Machen wir die Probe und setzen die ursprüngliche Funktion in die Umkehrfunktion ein.
\sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} x - \frac{7}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot (5x² + 7) - \frac{7}{5}} = \sqrt{x² + \frac{7}{5} - \frac{7}{5}} = x